🧮 Fundamentos de Álgebra Relacional

Módulo Teórico-Formal: A Linguagem Matemática por trás das Consultas SQL
Fundamentação: Edgar F. Codd (1970) e a Teoria dos Conjuntos
Público: 1º Ano do Curso Técnico em Desenvolvimento de Software

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1. 🎯 Objetivos de Aprendizagem

Ao final deste capítulo, você será capaz de:

• 📐 Compreender a relação entre operações matemáticas sobre conjuntos e as consultas em tabelas de bancos de dados.
• 🔍 Dominar os operadores unários fundamentais: Seleção ($\sigma$) e Projeção ($\pi$).
• 🔗 Compor expressões relacionais combinando Junção ($\bowtie$), Produto Cartesiano ($\times$) e operadores de conjuntos ($\cup ,-,\cap$).
• 🔄 Traduzir uma expressão formal de álgebra relacional diretamente para um comando SELECT em SQL.

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2. 💡 O que é Álgebra Relacional?

A Álgebra Relacional é uma linguagem de consulta procedural formal. Ela define um conjunto de operações matemáticas aplicadas sobre relações (tabelas) que produzem sempre uma nova relação como resultado (propriedade de fechamento).

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3. 🔍 Operadores Unários (Operam sobre 1 Tabela)

A) Seleção ($\sigma$) — Filtragem Horizontal de Linhas

Filtra as tuplas (linhas) que satisfazem uma condição lógica booleana:

$${\sigma }_{\text{condicao}}(R)$$

Exemplo Prático:

Selecionar todos os alunos da turma '1º Ano Informática':

$${\sigma }_{\text{turma = ’1o Ano Informatica’}}(\text{ALUNOS})$$

Relação de Entrada: ALUNOS
matricula	nome	turma
2026-001	Lucas Ferreira	1º Ano Informática
2026-002	Beatriz Ramos	1º Ano Informática
2026-015	Matheus Santos	1º Ano Mecânica

$$\Downarrow {\sigma }_{\text{turma = ’1o Ano Informatica’}}(\text{ALUNOS})$$

Relação de Saída (Resultado da Seleção)
matricula	nome	turma
2026-001	Lucas Ferreira	1º Ano Informática
2026-002	Beatriz Ramos	1º Ano Informática

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B) Projeção ($\pi$) — Filtragem Vertical de Colunas

Extrai apenas os atributos (colunas) desejados, eliminando colunas desnecessárias e linhas duplicadas:

$${\pi }_{{\text{atributo}}_1,{\text{atributo}}_2,\dots ,{\text{atributo}}_n}(R)$$

Exemplo Prático:

Listar apenas a matrícula e o nome dos alunos:

$${\pi }_{\text{matricula, nome}}(\text{ALUNOS})$$

Relação de Saída
matricula	nome
2026-001	Lucas Ferreira
2026-002	Beatriz Ramos
2026-015	Matheus Santos

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C) Composição de Operações Unárias

Podemos aninhar operadores para buscar colunas específicas com filtros:

$${\pi }_{\text{nome}}({\sigma }_{\text{ano\_publicacao > 2000}}(\text{LIVROS}))$$

"Traga apenas o nome dos livros publicados após o ano 2000."

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4. 🔗 Operadores Binários (Operam sobre 2 Tabelas)

A) Junção Natural e Theta-Join ($\bowtie$)

Combina tuplas de duas relações com base em uma condição de igualdade entre chaves (PK e FK):

$$R{\bowtie }_{\text{condicao}}S$$

Exemplo Prático na Biblioteca:

Combinar os empréstimos com os dados dos respectivos alunos:

$$\text{EMPRESTIMOS}{\bowtie }_{\text{EMPRESTIMOS.id\_aluno}=\text{ALUNOS.id\_aluno}}\text{ALUNOS}$$

B) Produto Cartesiano ($\times$)

Combina todas as linhas de $R$ com todas as linhas de $S$. Se $R$ possui 10 linhas e $S$ possui 5 linhas, o resultado terá $10\times 5=50$ linhas.

$$R\times S$$

C) Operações Clássicas da Teoria dos Conjuntos

As relações devem ser união-compatíveis (mesmo número e tipos de atributos):

• União ($\cup$): $R\cup S$ — Retorna todas as tuplas que estão em $R$ ou em $S$ (sem duplicatas).
• Interseção ($\cap$): $R\cap S$ — Retorna as tuplas que pertencem simultaneamente a $R$ e a $S$.
• Diferença ($-$): $R-S$ — Retorna as tuplas que estão em $R$, mas não estão em $S$.

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5. 🔄 Matriz de Equivalência: Álgebra Relacional vs. SQL

A tabela abaixo demonstra a correspondência direta entre as equações teóricas e a sintaxe prática em SQL:

Operação Relacional	Notação Matemática	Comando SQL Equivalente
Projeção	${\pi }_{A,B}(R)$	SELECT A, B FROM R;
Seleção	${\sigma }_{\text{condicao}}(R)$	SELECT * FROM R WHERE condicao;
Seleção + Projeção	${\pi }_A({\sigma }_C(R))$	SELECT A FROM R WHERE C;
Produto Cartesiano	$R\times S$	SELECT * FROM R CROSS JOIN S;
Junção (Theta Join)	$R{\bowtie }_{R.k=S.k}S$	SELECT * FROM R INNER JOIN S ON R.k = S.k;
União	$R\cup S$	SELECT * FROM R UNION SELECT * FROM S;
Interseção	$R\cap S$	SELECT * FROM R INTERSECT SELECT * FROM S;
Diferença	$R-S$	SELECT * FROM R EXCEPT SELECT * FROM S;

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6. 📝 Desafio Prático Resolvido

Problema: Escreva a expressão em Álgebra Relacional e o comando SQL para responder:
"Quais são os títulos dos livros emprestados para o aluno com matrícula '2026-INFO-001'?"

Expressão Matemática:

$${\pi }_{\text{titulo}}({\sigma }_{\text{matricula = ’2026-INFO-001’}}(\text{ALUNOS}\bowtie \text{EMPRESTIMOS}\bowtie \text{ITENS\_EMPRESTIMO}\bowtie \text{LIVROS}))$$

Tradução Direta para SQL:

SELECT l.titulo
FROM alunos a
JOIN emprestimos e ON a.id_aluno = e.id_aluno
JOIN itens_emprestimo ie ON e.id_emprestimo = ie.id_emprestimo
JOIN livros l ON ie.id_livro = l.id_livro
WHERE a.matricula = '2026-INFO-001';